湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明 1

王雪芹(**師范大學(xué)二附中,100088)?

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湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展1）

——幾何中證明垂直的技巧3篇

幾何中證明垂直的技巧1

　　1利用直角三角形中兩銳角互余證明

　　由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90° ，即直角三角形的兩個銳角互余。

　　2勾股定理逆定理

　　3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

　　二、高中部分

　　線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

　　1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

　　2斜率 兩條直線斜率積為-1

　　3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

　　一條直線垂直于三角形的'兩邊，那么它也垂直于另外一邊

　　4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

　　5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

　　2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時再考慮)：

幾何中證明垂直的技巧2

　　(1)判定南北半球：南坡同類自然帶高于北坡，則該山脈一般位于北半球。如下圖中的山地就位于北半球。

　　(2)判定熱量帶：山麓的自然帶(基帶)反映山地所處的熱量帶。如下圖中的山地所處的熱量帶為熱帶。

　　(3)判讀緯度高低：通常，帶譜數(shù)量越多，山地所在緯度位置越低。如下圖中的山地位于低緯度(赤道)地區(qū)。

　　(4)判斷迎風(fēng)坡：迎風(fēng)坡降水豐富，自然帶的數(shù)量較多，雪線的海拔較低。如下圖中南坡為迎風(fēng)坡。

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展2）

——小升初數(shù)學(xué)幾何真題及答案范本1份

　　小升初數(shù)學(xué)幾何真題及答案 1

2017小升初數(shù)學(xué)幾何真題及答案

　　數(shù)學(xué)在小升初試卷中占得比例很大，所以，小升初同學(xué)們在平時學(xué)習(xí)中，一定要注重?cái)?shù)學(xué)各類題型的掌握及練習(xí)。以下是yjbys小編給小升初同學(xué)們分享的數(shù)學(xué)幾何部分專項(xiàng)訓(xùn)練題，都很經(jīng)典，一起做做吧!

　　【知識講解】

　　1. 幾何圖形中的線一般是平直線或圓弧線。直線、射線、線段都是平直線，圓周是一條封閉的圓弧線。

　　2. 線段有兩個端點(diǎn)，可以量長度，可以比長短。

　　射線只有一個端點(diǎn)，它是向一端無限延長的，直線沒有端點(diǎn)，它是向兩端無限延長的。 (不能量長度，不能比長短)

　　小學(xué)數(shù)學(xué)中的多數(shù)圖形的邊或棱是由線段圍成的。

　　3. 平行線與垂線

　　①同一平面內(nèi)，兩條直線只有相交和不相交兩種位置關(guān)系。

　　②同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行(有如兩條并行的筆直的火車軌道)，其中一條直線叫做另一條的平行線。兩條平行線之間的距離處處相等。21

　　③兩條相交的直線，如果相交的夾角成直角，這兩條直線就互相垂直，其中一條直線叫做另一條的垂線。

　　④經(jīng)過直線外一點(diǎn)，只能畫一條直線與已知直線平行，也只能畫一條直線與已知直線垂直。

　　⑤從直線外一點(diǎn)，可以向直線上連無數(shù)條線段，其中垂直的那條線段最短，這條垂線段的長度就叫點(diǎn)與直線之間的距離。

　　4. 點(diǎn)與線段的規(guī)律

　　同一平面內(nèi)，點(diǎn)數(shù)與兩點(diǎn)間可以連接的線段數(shù)量是有規(guī)律的，如果用n表示點(diǎn)的數(shù)目，用l表示連接的線段的條數(shù)，那么l=n×(n-1)÷2。

　　【鞏固練習(xí)】

　　一、選擇題。

　　1.汽車車燈發(fā)射出去的光線，給我們的形象是()。

　　A.線段 B.直線 C.射線

　　2.射線和直線相比()。

　　A.射線比直線長。

　　B.直線比射線長。

　　C.無法比較長度。

　　3.下列說法正確的是()。

　　A.射線AB與射線BA是一條射線。

　　B.數(shù)軸是一條射線。

　　C.線段AB與線段BA是同一條線段。

　　D.直線AB與射線AB表示同一條直線。

　　4.通過平面上的兩點(diǎn)可以畫()條直線。

　　A.1 B.2 C.無數(shù)條 D.無法確定

　　5.畫一條132厘米的()

　　A.線段 B.直線 C.射線

　　6.有下列說法：

　　①兩條直線相交成四個角，如果兩個角相等，那么這兩條直線垂直

　　②兩條直線相交成四個角，如果三個角相等，那么這兩條直線垂直

　　③過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與已知直線垂直

　　④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離。

　　其中正確的說法有()。

　　A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

　　7.過直線外一點(diǎn)可以畫這條直線的垂線的條數(shù)()。

　　A.1 B.2 C.3

　　8.過直線外一點(diǎn)，分別向這條直線畫垂線和斜線，其中()最短。

　　A.斜線 B.垂線 C.垂線段

　　二、判斷題。

　　1.線段可以測量，射線可以測量，直線不可以測量。

　　2.射線AB大于線段BC。

　　3.射線AB與射線BA表示同一條射線。

　　4.直線由于向兩個方向延伸，而射線只向一個方向延伸，所以射線沒有直線長。

　　5.鐵路的兩條鐵軌是平行線。

　　6.只要不相交就一定是平行線。

　　7.畫已知直線的平行線，可以畫2條。

　　8.長方形中每組不相鄰的邊都互相垂直。

　　三、操作題

　　1.畫一條比5厘米短3毫米的線段。

　　參***：

　　一、

　　1. 【答案】C

　　2. 【答案】C。

　　【解析】直線沒有端點(diǎn)，它向兩方無限延伸，無法量長度;射線只有一個端點(diǎn)，它向一方無限延伸，也無法量得其長度;據(jù)此判斷。

　　3. 【答案】C。

　　【解析】根據(jù)概念不同利用排除法求解：A、射線AB與射線BA不是一條射線，端點(diǎn)不同，錯誤;B、數(shù)軸是一條直線，錯誤;C、線段AB與線段BA是同一條線段，正確;D、直線AB向兩方無限延伸，射線AB只有一個延伸方向，線的性質(zhì)不同，錯誤。

　　4. 【答案】A

　　【解析】根據(jù)直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線;由此解答即可.解：通過平面上的兩點(diǎn)可以畫1條直線;故選：A.

　　5. 答案】A

　　【解析】線段有兩個端點(diǎn)，可以度量長度;直線沒有端點(diǎn)，向兩方無限延伸，所以不能度量長度;射線有一個端點(diǎn)，向一方無限延伸，所以也不能度量長度，據(jù)此即可解答.

　　解：因?yàn)榫€段有兩個端點(diǎn)，可以度量長度;直線沒有端點(diǎn)，向兩方無限延伸，所以不能度量長度;射線有一個端點(diǎn)，向一方無限延伸，所以也不能度量長度，

　　因此可以畫132厘米的線段;故選：A.

　　6.【答案】B。

　　【解析】①兩條直線相交成四個角，如果有一對對頂角相等且均不為90°，那么這兩條直線不垂直，故①錯誤;②兩條直線相交成四個角，則這四個角中有2對對頂角，如果三個角相等，則這四個角相等，都是直角，所以這兩條直線垂直，故②正確;③在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直，故③錯誤;④直線外一點(diǎn)到直線的.垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.故④錯誤。綜上所述，正確的說法是1個。

　　7. 【答案】A。

　　【解析】過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

　　8. 【答案】C。

　　【解析】根據(jù)垂直的性質(zhì)：從直線外一點(diǎn)向已知直線畫垂直線段和斜線，垂線段最短;進(jìn)行解答即可。

　　二、

　　1. 【答案】×。

　　【解析】根據(jù)線段、射線和直線的特點(diǎn)：線段有兩個端點(diǎn)，有限長，可以測量;射線有一個端點(diǎn)，無限長;直線無端點(diǎn)，無限長;進(jìn)行解答即可。

　　2. 【答案】×。

　　【解析】根據(jù)射線的特點(diǎn)：射線只有一個端點(diǎn)，向一端無限延伸，長度不可度量;根據(jù)線段的特點(diǎn)：線段有2個端點(diǎn)，長度可以度量;據(jù)此判斷即可。

　　3. 【答案】×。

　　【解析】射線的讀法是從端點(diǎn)讀起，射線AB：端點(diǎn)是A，向B點(diǎn)無限延伸 射線BA：端點(diǎn)是B，向A點(diǎn)無限延伸，故可知射線AB與射線BA表示不同的射線。

　　4. 【答案】×

　　【解析】根據(jù)線段、射線和線段的含義：線段有限長，有兩個端點(diǎn);射線有一個端點(diǎn)，無限長;直線無端點(diǎn)，無限長;進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.

　　解：根據(jù)直線和射線的含義可知：直線能向兩個方向無限延長，而射線只能向一個方向無限延長，但直線和射線都無限長，所以無法比較其長短，所以本題說直線比射線長，說法錯誤;

　　故答案為：×.

　　5. 【答案】√。

　　【解析】根據(jù)平行的含義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線;據(jù)此判斷即可。

　　6. 【答案】×。

　　【解析】根據(jù)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線;據(jù)此判斷。

　　7. 【答案】×。

　　【解析】根據(jù)平行性質(zhì)：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行;因?yàn)橹本€外有無數(shù)點(diǎn)，所以有無數(shù)條直線與已知直線平行。

　　8. 【答案】×

　　【解析】依據(jù)長方形的特征及性質(zhì)可知：長方形的對邊互相平行，相鄰一組邊互相垂直，據(jù)此解答即可.解：長方形中每組不相鄰的邊都互相平行，

　　所以原題的說法是錯誤的;故答案為：×。

　　三、略

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展3）

——班級管理中的幾何原則實(shí)用一篇

　　班級管理中的幾何原則 1

班級管理中的幾何原則

　　對班**來說，班級管理是頭等任務(wù)，做好班級管理工作，必須注意方式方法。接下來小編總結(jié)出班級管理中的幾條幾何原則，希望對大家有所幫助。

　　一、“正方形”原則

　　幾何學(xué)中的正方形，是指一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形。在**傳統(tǒng)文化中，“方方正正”這個詞包含公**私的涵義。班級管理中的“正方形”原則，簡單說就是**治班，公平對待每一位學(xué)生。

　　“不以規(guī)矩，不成方圓”，社會管理需要“法制化”，班級管理也需要“**化”。班**的首要任務(wù)是制定合情合理的班級**。但是有了可依靠的**還不夠，班**還必須遵循“**面前，人人平等”的原則，處理問題時不偏不倚，完全**治班，才能真正發(fā)揮**的作用。這就好比正方形，一旦一個角度有偏移，或者一條線出現(xiàn)一絲一毫的傾斜，就不再成為正方形。班級管理也一樣，班**必須一碗水端平，嚴(yán)格按**辦事，才能真正發(fā)揮班級**作用，避免其淪為一紙空文。

　　所以，班級管理中的正方形原則，便是以**為管理依據(jù)，依**行事，不變形、不扭曲，如此才能達(dá)到建設(shè)良好班集體的目的。

　　二、“圓形”原則

　　幾何學(xué)中的“圓”，是指平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形。“圓”在**傳統(tǒng)文化里，常常與棱角分明的“方”相對，因而常常被賦予柔性、講究技巧、避免損害性摩擦等文化意義。而班級管理中的“圓形”原則正是借用了這層文化意義，即班**在處理問題時，要在遵循班級管理**的前提下，盡量采取柔和的、富有技巧的方式方法，將可能出現(xiàn)的傷害或?qū)Π嗉壍牟涣加绊懡档阶畹汀?/p>

　　“圓形”原則提醒班**，在班級管理中必須剛?cè)嵯酀?jì)。刀再鋒利，如果一碰就斷，也就毫無作用。如，當(dāng)學(xué)生逆反情緒嚴(yán)重時，必須先進(jìn)行心理疏導(dǎo)，助其**不良情緒之后再進(jìn)行思想教育，或者先讓其冷靜下來，再委婉地進(jìn)行點(diǎn)撥。如果一味地硬碰硬，必然費(fèi)力不討好。達(dá)不到效果不說，嚴(yán)重時還會兩敗俱傷。教育本身是一種喚醒、一種激勵，也是一種約束和規(guī)范。青春期的學(xué)生逆反心理強(qiáng)，有自己的見解和主張，這些見解或主張也許并不成熟甚至是錯誤的'，但班**卻不能因此而全盤否定。如果強(qiáng)行采取高壓**，往往會事與愿違，甚至加大教育工作的難度，而“以柔克剛”卻往往能達(dá)到“四兩撥千斤”的效果。

　　三、“立體”原則

　　幾何學(xué)中的“立體”是一個與“平面”相對的概念，其特征是通過視覺可見物體或圖形有多個層次。班級管理中的“立體”原則，是指班**在班級管理中，應(yīng)該清楚地認(rèn)識到班級是立體的、多維的，我們面對的學(xué)生也是一個個立體的人，有著各自不同的個性特征，情感豐富而復(fù)雜。正因?yàn)槿绱耍覀兊慕逃矐?yīng)該以立體的方式進(jìn)行。

　　班級如同社會，什么樣的事情都有可能發(fā)生，其復(fù)雜性對班**的管理策略提出了較高的要求。面對層次不同的學(xué)生、性質(zhì)不同的問題，班**必須采取不同的方式方法去處理，一定要避免平面化的“一刀切”。

　　我們常常把教育分為德智體美勞五個方面，其實(shí)這五個方面本身就是一個立體的不同側(cè)面，分割**各自為戰(zhàn)，必將破壞教育的完整性，也達(dá)不到我們想要的教育效果；只有全方位、多層次地將各種教育因素融合滲透進(jìn)日常教育的點(diǎn)點(diǎn)滴滴中，才能塑造立體的、完善的個體。

　　綜上所述，班級管理中的幾何原則，簡單說就是在**治班時要“方”，在處理具體個案、解決棘手問題時要“圓”，在實(shí)施教育、制定教育計(jì)劃、策劃教育活動時要“立體”。

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展4）

——幾何證明模擬試題及參***3篇

幾何證明模擬試題及參***1

　　高中數(shù)學(xué)選修4-1知識點(diǎn)總結(jié)

　　平行線等分線段定理

　　平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

　　推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

　　推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理

　　平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

　　推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例。相似三角形的判定及性質(zhì)

　　相似三角形的判定：

　　定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))。

　　由于從定義出發(fā)判斷兩個三角形是否相似，需考慮6個元素，即三組對應(yīng)角是否分別相等，三組對應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：

　　(1)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似;

　　(2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似;

　　(3)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

　　預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

　　判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。高中復(fù)習(xí)提綱網(wǎng) www.oh100.com/

　　判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

　　判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

　　引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

　　定理：(1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似;

　　(2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似。

　　定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

幾何證明模擬試題及參***2

　　相似三角形的性質(zhì)：

　　(1)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相似比;

　　(2)相似三角形周長的比等于相似比;

　　(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

　　相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理

　　射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng);兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)。

　　圓周定理

　　圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。

　　圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

　　推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。

　　推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的`弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

　　定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

　　定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。

　　圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。

　　推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。

　　切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

　　推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。

　　推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

　　切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì)

　　弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。與圓有關(guān)的比例線段

　　相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

　　割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

　　切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

　　切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展5）

——幾何證明選講優(yōu)選【三】篇

　　幾何證明選講 1

新課標(biāo)高考試題應(yīng)對策略之一

———2011年幾何證明選講題解體攻略

趙棟先

2011年，河南省的新課標(biāo)卷給人以耳目一新的感覺，尤其是他的幾何證明選講問題，命題人確實(shí)下了很大功夫，該題分兩問，第一問考查四點(diǎn)共圓問題，難度不是很大，但是應(yīng)用了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的知識，應(yīng)用了相似三角形的證明，第二問是考察四邊形的外接圓半徑問題，難度還是有的，很多同學(xué)理解不透外接圓的本質(zhì)，所以無從下手解決。

請先看題：

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講如圖， ， 分別為 的邊 ， 上的點(diǎn)，且不與 的頂點(diǎn)重合。已知 的長為m，的長為n，AD, 的長是關(guān)于 的方程 的兩個根。

(Ⅰ)證明： ， ， ， 四點(diǎn)共圓;

(Ⅱ)若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圓的半徑。

第一問解法：

證明策略一： 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

因?yàn)?， 的長是關(guān)于 的方程 的.兩個根.

所以 ，

因?yàn)?的長為 ， 的長為 ，所以 .

連接 ，根據(jù)題意，在 和 中，

因?yàn)椋?/p>

即 ，又 ,

從而 .

因此，

所以 ， ， ， 四點(diǎn)共圓.

證明策略二：把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)

事實(shí)上，以上定理就是割線定理的逆定理，即托勒密定理的逆定理，先讓我們證明他的正確性。

E

D

B

C

A

已知：在四邊形BCDE中，延長BE邊和CD邊交于A點(diǎn)，

若AExAB=ADxAC ,求證：B,C,D,E四點(diǎn)共圓。

證明：∵AD·AB=AE·AC，

∴ =

又∵∠A=∠A

∴△AED∽△ABC

∴∠AED=∠B

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理知，B,C,D,E四點(diǎn)共圓。

這個結(jié)論，即為托勒密定理的逆定理，我們可以利用它證明第一問：

因?yàn)?， 的長是關(guān)于 的方程 的兩個根.

所以 ，

因?yàn)?的長為 ， 的長為 ，所以

所以 =AE·AC

根據(jù)托勒密定理的逆定理，B,C,D,E四點(diǎn)共圓。

對于第一問來說，我們只要平時多積累方法，總是可以解決的，但是對于托勒密定理的逆定理，大綱中沒有要求掌握，我們可以根據(jù)自己的基礎(chǔ)，有選擇的去掌握。

下面我們來解決第二問：

第二問是在第一問四點(diǎn)共圓的基礎(chǔ)上，求這四個點(diǎn)所在圓的半徑。

解決策略一：我們可以根據(jù)圓內(nèi)接四邊形圓心的性質(zhì)，把圓心做出來，圓心到任一頂點(diǎn)的連線長度即為半徑這個思路來解題。

知識聯(lián)系：那么，圓內(nèi)接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì)，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線的交點(diǎn)，

那么圓內(nèi)接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的。原因很簡單：圓內(nèi)接四邊形的圓心到四邊形各個頂點(diǎn)的距離相等，則到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線段的中垂線，那么到四邊形四條邊的定點(diǎn)相等的點(diǎn)的集合一定是四條邊中垂線的交點(diǎn)了，這個問題一旦解決，第一問的圓心問題就簡單了。我們看半徑的求解方法。

　　幾何證明選講 2

高中數(shù)學(xué)選修4-1知識點(diǎn)總結(jié)

平行線等分線段定理

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例。相似三角形的判定及性質(zhì)

相似三角形的判定：

定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))。

由于從定義出發(fā)判斷兩個三角形是否相似，需考慮6個元素，即三組對應(yīng)角是否分別相等，三組對應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：

(1)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似;

(2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似;

(3)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。高中復(fù)習(xí)提綱網(wǎng) www.unjs.com/

判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

定理：(1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似;

(2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似。

定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相似比;

(2)相似三角形周長的比等于相似比;

(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng);兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)。

圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。

推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。圓的切線的性質(zhì)及判定定理 高中復(fù)習(xí)提綱網(wǎng) www.unjs.com/

切線的性質(zhì)定理：圓的`切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。

推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì)

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。與圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

　　幾何證明選講 3

新課標(biāo)高考試題應(yīng)對策略之一

―――2015年幾何證明選講題解體攻略

趙棟先

2015年，河南省的新課標(biāo)卷給人以耳目一新的感覺，尤其是他的幾何證明選講問題，命題人確實(shí)下了很大功夫，該題分兩問，第一問考查四點(diǎn)共圓問題，難度不是很大，但是應(yīng)用了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的知識，應(yīng)用了相似三角形的證明，第二問是考察四邊形的外接圓半徑問題，難度還是有的，很多同學(xué)理解不透外接圓的本質(zhì)，所以無從下手解決。

請先看題：

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講如圖， ， 分別為 的邊 ， 上的點(diǎn)，且不與 的頂點(diǎn)重合。已知 的長為m，的長為n，AD, 的'長是關(guān)于 的方程 的兩個根。

(Ⅰ)證明： ， ， ， 四點(diǎn)共圓;

(Ⅱ)若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圓的半徑。

第一問解法：

證明策略一： 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

因?yàn)?， 的長是關(guān)于 的方程 的兩個根.

所以 ，

因?yàn)?的長為 ， 的長為 ，所以 .

連接 ，根據(jù)題意，在 和 中，

因?yàn)椋?/p>

即 ，又 ,

從而 .

因此，

所以 ， ， ， 四點(diǎn)共圓.

證明策略二：把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)

事實(shí)上，以上定理就是割線定理的逆定理，即托勒密定理的逆定理，先讓我們證明他的正確性。

E

D

B

C

A

已知：在四邊形BCDE中，延長BE邊和CD邊交于A點(diǎn)，

若AExAB=ADxAC ,求證：B,C,D,E四點(diǎn)共圓。

證明：∵AD?AB=AE?AC，

∴ =

又∵∠A=∠A

∴△AED∽△ABC

∴∠AED=∠B

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理知，B,C,D,E四點(diǎn)共圓。

這個結(jié)論，即為托勒密定理的逆定理，我們可以利用它證明第一問：

因?yàn)?， 的長是關(guān)于 的方程 的兩個根.

所以 ，

因?yàn)?的長為 ， 的長為 ，所以

所以 =AE?AC

根據(jù)托勒密定理的逆定理，B,C,D,E四點(diǎn)共圓。

對于第一問來說，我們只要平時多積累方法，總是可以解決的，但是對于托勒密定理的逆定理，大綱中沒有要求掌握，我們可以根據(jù)自己的基礎(chǔ)，有選擇的去掌握。

下面我們來解決第二問：

第二問是在第一問四點(diǎn)共圓的基礎(chǔ)上，求這四個點(diǎn)所在圓的半徑。

解決策略一：我們可以根據(jù)圓內(nèi)接四邊形圓心的性質(zhì)，把圓心做出來，圓心到任一頂點(diǎn)的連線長度即為半徑這個思路來解題。

知識聯(lián)系：那么，圓內(nèi)接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì)，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線的交點(diǎn)，

那么圓內(nèi)接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的。原因很簡單：圓內(nèi)接四邊形的圓心到四邊形各個頂點(diǎn)的距離相等，則到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線段的中垂線，那么到四邊形四條邊的定點(diǎn)相等的點(diǎn)的集合一定是四條邊中垂線的交點(diǎn)了，這個問題一旦解決，第一問的圓心問題就簡單了。我們看半徑的求解方法。

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展6）

——幾何證明選講試題合集一篇

　　幾何證明選講試題 1

知識聯(lián)系：那么，圓內(nèi)接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì)，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線的交點(diǎn)，

那么圓內(nèi)接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的。原因很簡單：圓內(nèi)接四邊形的圓心到四邊形各個頂點(diǎn)的距離相等，則到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線段的中垂線，那么到四邊形四條邊的定點(diǎn)相等的點(diǎn)的集合一定是四條邊中垂線的交點(diǎn)了，這個問題一旦解決，第一問的圓心問題就簡單了。我們看半徑的求解方法。

(Ⅱ)當(dāng) 時，方程 的兩根為 ， .

故 ， .

取 的中點(diǎn) ， 的中點(diǎn) ，分別過 作 的垂線，兩垂線相交于 點(diǎn)，

連接 .因?yàn)?， ， ， 四點(diǎn)共圓，所以 ， ， ， 四點(diǎn)所在圓的圓心為 ，半徑為 .

由于 ，故 ， .

， .所以 .、

該解法是在做出圓心的基礎(chǔ)上求半徑的，考查高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識垂直平分線的問題，很有新意。那么該問還有沒有其他的解法?有，請看······

解決策略二：解該題的第一個方法用到數(shù)學(xué)中基本方法和基本運(yùn)算，但有點(diǎn)繁瑣，思路也不太好打開，有沒有不用做出圓心直接求半徑的方法？有！

知識聯(lián)系：(1)四邊形BCDE的外接圓是不是連接四邊形中任意三點(diǎn)的三角形的外接圓?答案是肯定的!

(2)三角形的外接圓半徑與解三角形中的哪個定理聯(lián)系很緊密?

——正弦定理

正弦定理的表達(dá)形式： = = =2R,其中這里邊的R，就是三角形的外接圓半徑。那么，我們只要找到三角形的一邊長和該邊所對的角，就能將半徑求出，而不需做出圓心。

解題過程：在△ABC中，連接DE、CD,根據(jù)AE=4，AC=6易知 ， .

則DE2 =AE2+AD2 所以DE=2 ，又在△ADC中，sin∠ACD= = =

所以在三角形DCE中， =2R=10 所以R=5 .

這種解題方法的掌握，是在有了扎實(shí)的基本功基礎(chǔ)上的巧妙聯(lián)想和合理推測證明，有利于學(xué)生知識體系的構(gòu)建和基礎(chǔ)知識的提升。

解決策略三：利用△ABC為直角三角形這個有利條件，聯(lián)想到解析幾何中圓的`標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，建立二維x-o-y坐標(biāo)系，利用解析幾何的**解決！

知識聯(lián)系：圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

Y

X

解題過程：在Rt△ABC中，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB為x軸，以AC為y軸，建立直角坐標(biāo)系x-o-y系

根據(jù)AE=4，AC=6易知 ， .

則C(0,6), E(0,4), D(2,0), B(12,0)

設(shè)圓的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

將C、D、E三點(diǎn)的坐標(biāo)帶入，得

36+6E+F=0 D=-14

16+4E+F=0 E=-10

4+2D+F=0 F=24

轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-7)2+(y-5)2=50從而得到半徑是5 .

事實(shí)上，這個方法本身不難，但難就難在如何從幾何證明選講中迅速進(jìn)行知識遷移，轉(zhuǎn)化成解析幾何問題，而這里的轉(zhuǎn)移，恰恰是解決這個問題的關(guān)鍵所在。

統(tǒng)觀這些解題方法，從本質(zhì)上來看都是組成高中數(shù)學(xué)知識框架的重要部分，并且都要求掌握，所以要求我們在平時的學(xué)習(xí)中夯實(shí)基礎(chǔ)，同時在學(xué)習(xí)的過程中還要將知識進(jìn)行整理，讓知識聯(lián)系起來，別且要發(fā)揮我們想像的翅膀，做到深思熟慮，大膽聯(lián)想，合理推測，正確證明，這樣才能做到對知識的整體把握，才能舉一反三，這樣學(xué)起數(shù)學(xué)來就易如反掌了!

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展7）

——初一幾何證明題(精選1篇)

　　初一幾何證明題 1

1)D是三角形ABC的BC邊上的點(diǎn) 且CD=AB，角ADB=角BAD，AE是三角形ABD的中線，求證AC=2AE。

(2)在直角三角形ABC中，角C=90度，BD是角B的`平分線，交AC于D，CE垂直AB于E，交BD于O，過O作FG平行AB，交BC于F，交AC于G。求證CD=GA。

延長AE至F，使AE=EF。BE=ED，對頂角。證明ABE全等于DEF。=》AB=DF，角B=角EDF角ADB=角BAD=》AB=BD，CD=AB=》CD=DF。角ADE=BAD+B=ADB+EDF。AD=AD=》三角形ADF全等于ADC=》AC=AF=2AE。

題干中可能有筆誤地方：第一題右邊的E點(diǎn)應(yīng)為C點(diǎn)，第二題求證的CD不可能等于GA，是否是求證CD=FA或CD=CO。如上猜測準(zhǔn)確，證法如下：第一題證明:設(shè)F是AB邊上中點(diǎn)，連接EF角ADB=角BAD，則三角形ABD為等腰三角形，AB=BD;∵ AE是三角形ABD的中線，F(xiàn)是AB邊上中點(diǎn)。∴ EF為三角形ABD對應(yīng)DA邊的中位線，EF∥DA，則∠FED=∠ADC，且EF=1/2DA。∵ ∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA，AF=1/2AB=1/2CD∴ △AFE∽△CDA∴ AE:CA=FE:DA=AF:CD=1:2AC=2AE得證第二題：證明:過D點(diǎn)作DH⊥AB交AB于H，連接OH，則∠DHB=90°;∵ ∠ACB=90°=∠DHB，且BD是角B的平分線，則∠DBC=∠DBH，直角△DBC與直角△DBH有公共邊DB;∴ △DBC≌△DBH，得∠CDB=∠HDB，CD=HD;∵ DH⊥AB，CE⊥AB;∴ DH∥CE，得∠HDB=∠COD=∠CDB，△CDO為等腰三角形，CD=CO=DH;四邊形CDHO中CO與DH兩邊平行且相等，則四邊形CDHO為平行四邊形，HO∥CD且HO=CD∵ GF∥AB，四邊形AHOF中，AH∥OF，HO∥AF，則四邊形AHOF為平行四邊形，HO=FA∴ CD=FA得證

有很多題

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分別是角平分線，D是EF中點(diǎn)，若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z，求證：x=y+z

證明;過E點(diǎn)分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點(diǎn).

過F點(diǎn)分別作AC,BC上的高交于P,Q點(diǎn).

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

過D點(diǎn)做BC上的高交BC于O點(diǎn).

過D點(diǎn)作AB上的高交AB于H點(diǎn),過D點(diǎn)作AB上的高交AC于J點(diǎn).

則X=DO,Y=HY,Z=DJ.

因?yàn)镈 是中點(diǎn),角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD

同理可證FP=2DJ。

又因?yàn)镕Q=FP,EM=EN.

FQ=2DJ，EN=2HD。

又因?yàn)榻荈QC，DOC，ENC都是90度，所以四邊形FQNE是直角梯形，而D是中點(diǎn)，所以2DO=FQ+EN

又因?yàn)?/p>

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因?yàn)閄=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，請問結(jié)論BM=CN是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由。

當(dāng)∠BON=108°時。BM=CN還成立

證明;如圖5連結(jié)BD、CE.

在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分線交AC與N，則角NBC=( )

3°

因?yàn)锳B=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因?yàn)锳B的垂直平分線交AC于N，設(shè)交AB于點(diǎn)D，一個角相等，兩個邊相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD邊上的點(diǎn)。且角PAQ=45°，求證：PQ=PB+DQ

延長CB到M，使BM=DQ，連接MA

∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

∵∠MAP=∠PAQ

AM=AQ AP為公共邊

∴三角形AMP≌三角形AQP

∴MP=PQ

∴MB+PB=PQ

∴PQ=PB+DQ

5.正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點(diǎn)P,求證DP⊥NP

∵直角△BMP∽△CBP

∴PB/PC=MB/BC

∵M(jìn)B=BN

正方形BC=DC

∴PB/PC=BN/CD

∵∠PBC=∠PCD

∴△PBN∽△PCD

∴∠BPN=∠CPD

∵BP⊥MC

∴∠BPN+∠NPC=90°

∴∠CPD+∠NPC=90°

∴DP⊥NP。

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展8）

——初三幾何證明題(1)份

　　初三幾何證明題 1

所以AB/DC=BD/EC

2/2倍根2-X=X/EC，

求出EC=(2倍根2倍的X-X平方)/2

所以Y=2-(2倍根2倍的X-X平方)/2

(3)因?yàn)橄嗨魄褹D=DE

所以兩三角形全等

所以DC=AB=2

所以EC=BD=BC-DC=2倍根2-2

所以AE=AC-EC=2-(2倍根2-2)

=4-2倍根2

第二題(1)過E，F(xiàn)，Q分別向AD作垂線

交于點(diǎn)H，I，J，

因?yàn)镻F平行AQ

所以三角形DPF與DAQ相似

所以DP/DA=DF/DQ=3-X/3

因?yàn)槿切蜠JF與DIQ相似

所以FJ/QI=DF/DQ

FJ/2=3-X/3

FJ=2/3倍(3-X)

同理EH=2/3倍X

所以S三角形AEP=1/2*X*2/3倍X=1/3倍X方

S三角形DFP=1/2*(3-X)*2/3倍(3-X)=1/3倍(3-X)方

因?yàn)槠叫?/p>

所以S三角形PEF與EFQ相等

所以Y=(S三角形AQD-AEP-DFP)/2

=(1/2*3*2-1/3倍(3-X)方-1/3倍X方)/2

=2/3倍X方+2X

(2)延長AB到M使BM=AB，連接DM交BC于點(diǎn)Q'，

點(diǎn)Q'為所求

由RT三角形ADM，用勾股勾出DM=5

所以DQ'+AQ'=5

所以周長為DQ'+AQ'+AD=5+3=8

2

1.在△ABC中，M為BC邊的中點(diǎn)，∠B=2∠C，∠C的.平分線交AM于D。

證明：∠MDC≤45°。

2.設(shè)NS是圓O的直徑，弦AB⊥NS于M，P為弧 上異與N的任一點(diǎn)，PS交AB于R，PM的延長線交圓O于Q，求證：RS>MQ。

答案：

1.設(shè)∠B的平分線交AC于E，易證EM⊥BC作EF⊥AB于F，則有EF=EM，

∴AE≥EF=EM，從而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又

2∠MDC=2(∠MAC+∠ACD)=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，

∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。

2.連結(jié)NQ交AB于C，連結(jié)SC、SQ。易知C、Q、S、M四點(diǎn)共圓，且CS是該圓的直徑，于是CS>MQ。再證Rt△SMC≌Rt△SMR，從而CS=RS，故有RS>MQ.

3

第一題省略∠ √ ⊥ △ ≌

第二題:根據(jù)上一題的結(jié)論 兩個三角形相似

可以得出AB：BD==DC：CE

AB==2，BD==x，DC==2√2-x，CE==2-y

所以，[2√2-x]*x==4-2y

y==x^2/2-√2x+2，其中0

第三題：△ADE是等腰三角形的情況只有兩種

1、∠AED==90°時候

∠BDA==90°

BD==√2

AE==√2^2/2-√2*√2+2==1

2、∠AED==67.5°的時候

AD==DE，而且△ABD∽△DCE

所以△ABD≌△DCE

BD==CE 也就是x==2-y

再加上第二題的結(jié)論就有

2-x==x^2/2-√2x+2

x^2- 2(√2-1)x==0

解方程得結(jié)果是

x==2(√2-1)或者0

如果是0，就會有B、D重合，所以棄去0

AE==2-x

==2(2-√2)

湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展9）

——懷張璪賞析 -詩詞實(shí)用1篇

　　懷張璪賞析 -詩詞 1

懷張璪
湯璪真擴(kuò)大幾何原則的初等證明范本1份（擴(kuò)展10）

——高考幾何證明題優(yōu)選【一】篇

　　高考幾何證明題 1

∠B=2∠DCN

證明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

11

輸入內(nèi)容已經(jīng)達(dá)到長度限制

∠B=2∠DCN

證明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

12、

空間向量作為新加入的內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。

如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角求距離問題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來表達(dá)是問題的關(guān)鍵.

立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行;二是度量問題，它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計(jì)算線線角，而如何用向量證明線面平行，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。

以下用向量法求解的簡單常識：

1、空間一點(diǎn)P位于平面MAB的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x、y，使得 或?qū)臻g一定點(diǎn)O有

2、對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，則四點(diǎn)P、A、B、C共面.

3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量證在線a⊥b，就是分別在a，b上取向量 .

5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取 ，求： 的問題.

6、利用向量求距離就是轉(zhuǎn)化成求向量的模問題： .

7、利用坐標(biāo)法研究線面關(guān)系或求角和距離，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，正確表達(dá)已知點(diǎn)的坐標(biāo).

13

空間向量作為新加入的內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。

如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角求距離問題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來表達(dá)是問題的關(guān)鍵.

立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行;二是度量問題，它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計(jì)算線線角，而如何用向量證明線面平行，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。

以下用向量法求解的簡單常識：

1、空間一點(diǎn)P位于平面MAB的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x、y，使得 或?qū)臻g一定點(diǎn)O有

2、對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，則四點(diǎn)P、A、B、C共面.

3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量證在線a⊥b，就是分別在a，b上取向量 .

5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取 ，求： 的問題.

6、利用向量求距離就是轉(zhuǎn)化成求向量的模問題： .

7、利用坐標(biāo)法研究線面關(guān)系或求角和距離，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，正確表達(dá)已知點(diǎn)的.坐標(biāo).

首先該圖形能建坐標(biāo)系

如果能建

則先要會求面的法向量

求面的法向量的方法是 1。盡量在土中找到垂直與面的向量

2。如果找不到，那么就設(shè)n=(x,y,z)

然后因?yàn)榉ㄏ蛄看怪庇诿?/p>

所以n垂直于面內(nèi)兩相交直線

可列出兩個方程

兩個方程，三個未知數(shù)

然后根據(jù)計(jì)算方便

取z(或x或y)等于一個數(shù)

然后就求出面的一個法向量了

會求法向量后

1。二面角的求法就是求出兩個面的法向量

可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數(shù)量積除以兩向量模的乘積

如過在兩面的同一邊可以看到兩向量的箭頭或箭尾相交

那么二面角就是上面求的兩法向量的夾角的補(bǔ)角

如果只能看到其中一個的箭頭和另一個的箭尾相交

那么上面兩向量的夾角就是所求

2。點(diǎn)到平面的距離就是求出該面的法向量

然后在平面**取一點(diǎn)(除平面外那點(diǎn)在平面內(nèi)的射影)

求出平面外那點(diǎn)和你所取的那點(diǎn)所構(gòu)成的向量記為n1

點(diǎn)到平面的距離就是法向量與n1的數(shù)量積的絕對值除以法向量的模即得所求